a.

Do AB song song DC nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD, cùng là góc SCD

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(cos\widehat{SCD}=\dfrac{SC^2+CD^2-SD^2}{2SC.CD}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCD}\approx75^031'\)

b.

Gọi O là tâm đáy, do chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau nên chóp là chóp đều

\(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OAB\) là hình chiếu vuông góc của SAB lên (ABCD)

\(OA=OB=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=a\)

Mặt khác OA vuông góc OB (2 đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{a^2}{2}\)

Đáp án C.

Chọn đáp án A

+ Ta có

nên K là trọng tâm của tam giác BCD

+ Ta dễ dàng chứng minh được SH  ⊥ (BKH) ⇒ SB, (BKH) = SBH

Chọn A.

Phương pháp:

Cách giải:

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối S O ∩ B ' D ' = I . 

Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.

Tam giác SAC vuông tại A, có S C 2 = S A 2 + A C 2 = 6 a 2 ⇒ S C = a 6 . 

Ta có B C ⊥ S A B ⇒ B C ⊥ A B '  và S B ⊥ A B ' ⇒ A B ' ⊥ S C . 

Tương tự A D ' ⊥ S C  suy ra  S C ⊥ ( A B ' D ' ) ≡ ( A B ' C ' D ' ) ⇒ S C ⊥ A C ' .

Mà S C ' . S C = S A 2 ⇒ S C ' S C = S A 2 S C 2 = 2 3  và S B ' S B = S A 2 S B 2 = 4 5 . 

Do đó  V S . A B ' C ' = 8 15 V S . A B C = 8 30 V S . A B C D  mà V S . A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 2 a 3 3 . 

Vậy thể tích cần tính là  V S . A B ' C ' D ' = 2 . V S . A B ' C ' = 16 a 3 45

Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

Đáp án là D

+ Gọi O là giao điểm của AC,BD

⇒ MO \\ SB ⇒ SB \\ ACM

⇒ d  SB,ACM = d B,ACM = d D,ACM  .

+ Gọi I là trung điểm của AD ,

M I \ \ S A ⇒ M I ⊥ A B C D d     D , A C M     = 2 d     I , A C M  .

+ Trong ABCD: IK ⊥ AC  (với K  ∈ AC ).

+ Trong MIK: IH ⊥ MK  (với H ∈ MK ) (1)  .

+ Ta có: AC ⊥  MI ,AC ⊥  IK ⇒  AC ⊥  MIK

  ⇒  AC ⊥  IH (2) .

Từ 1 và 2 suy ra

IH ⊥  ACM ⇒  d  I ,ACM  = IH  .

+ Tính IH ?

- Trong tam giác vuông MIK. : I H = I M . I K I M 2 + I K 2 .

- Mặt khác: M I = S A 2 = a , I K = O D 2 = B D 4 = a 2 4

⇒ I H = a a 2 4 a 2 + a 2 8 = a 3

Vậy   d     S B , A C M = 2 a 3 .

Lời giải khác

Đáp án C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Tam giác SAB cân tại S suy ra S M ⊥ A B  

⇒ S M ⊥ d , với d = ( S A B ) ∩ ( S C D )  

Vì ( S A B ) ⊥ ( S C D ) suy ra S M ⊥ ( S C D )

Kẻ S H ⊥ M N ⇒ S H ⊥ ( A B C D )  

Ta có S ∆ S A B + S ∆ S C D = 7 a 2 10  

⇒ S M + S N = 7 a 5

Tam giác SMN vuông tại S nên S M 2 + S N 2 = M N 2 = a 2  

Giải hệ  S M + S N = 7 a 5 S M 2 + S N 2 = a 2

Vậy thể tích khối chóp  V S . A B C D = 1 3 . S A B C D . S H = 4 a 3 25

Chọn đáp án B